数学入門: 第9章フィードバック

「ライブ講義大学1年生のための数学入門」を使った学生・読者の反応と, それに対する著者からのフィードバックです。

変数分離法の発想は「移項」に似ている

微分方程式の変数分離法は, 代数方程式の「移項」に似ています。たとえば代数方程式

$3x=3+2x$ は, 右辺を左辺に移項して

$3x-2x=3$ とすることで

$x=3$ と解きますね。

$x$ を片方に集めるのです。一方, 微分方程式

$y'=-2xy$ は,

$dy/dx=-2xy$ と書いて, 両辺に

$dx$ をかけ,

$y$ で割って,

$\frac{dy}{y}=-2xdx$ となります。

$y$ を左辺に,

$x$ を右辺に集めたのです。移項と違って割り算で処理していますが, 発想は同じです。各辺で現れる変数（関数）が1つだけだと処理がしやすいからです。実際, 両辺を不定積分すれば,

$\text{ln} |y| = -x^2 + C$ となり（

$C$ は積分定数）,

$y = y(0)\text{exp}(-x^2)$ と解けるのです。