数学入門: 第1章フィードバック
「ライブ講義 大学1年生のための数学入門」を使った学生・読者の反応と, それに対する著者からのフィードバックです。
有効数字の意味
本章を読んで, 有効数字があらわす値の範囲（不確かさ）について驚く人が多いです。あまりにも今まで習ったこと・考えていたことと違うからでしょう。理解を助けるためにひとつの例を示しましょう：「プランク定数」という物理量は, 10年ほどまえの高校物理の教科書では
6.6260693×10-34 J s
でした。ところが最新研究（定義として確定された）は
6.62607015×10-34 J s
です。これらの違いは, 10年前の有効数字末位の±0.5倍には全く収まっていません（有効数字末位の8倍です）。もしも「有効数字末位の±0.5倍」にこだわるならば, 10年前は有効数字が多すぎたのです。
このように, 研究現場では「有効数字末位の±0.5倍」に逸脱する事例はたくさんありますし, それは問題ではありません。そもそも「有効数字末位の±0.5倍」という解釈がおかしいのです。
質問
累乗は指数が√3とか虚数でもできるのでしょうか?
… できますよ!! 無理数乗は, 「指数関数の単調性」と「実数の公理」を使って定義されます。虚数乗は「オイラーの公式」で定義されます。
大学数学にあるあるのπはなんでπになるでしょうか?
… 複素関数の積分やフーリエ級数という数学を介して出てくることが多いです。
公式は、全て、完璧に定義を説明できるようにならなくてはいけないのでしょうか。ある程度前提条件として捉えないと、いつまでも先に進めないような気がするのですが...。
... どの定理や定義がどの定理の根拠になっているかという体系を理解すること（循環定義や循環論理を起こさないこと）が大事であり, それができていれば細部は忘れてもOKだと思います。
細かい有効数字のつけ方で実験結果の再現性が損なわれることがありますか?
... あると思います。有効数字があまりに多すぎることの弊害は感じます。心ある研究論文なら, 有効数字でお茶を濁すのではなく, 誤差範囲を明記するものだと思います。
学生のリアクションペーパーから
0!の値を決めるとき、階乗の定義を拡張して0!を定義するというのがとてもおもしろかった。
… 同じやり方で(-1)!ができるかどうか考えてみてください。
あらかじめ正の実数の範囲内で定義されているものを負の実数とか0とかに広げていくのは不思議な感じがする。(ルールを破っているような感じ?)
… 「そうしないと数学が始まらない」というのが大事なところです。数学が飛躍する段階のルール破りな感じは, 実際, 昔の人達も感じていたようで,たとえばピタゴラス学派は√2が無理数であることを証明してしまい, そのことをどう受け入れればよいかわからず, とりあえず外部には漏らしてはいけない, ということになっていたようです。
定義の拡張によって、数学が新しい段階に行くことが印象に残った。
… 累乗が素朴な「繰り返し掛ける」という定義から「指数法則を満たすような演算」という定義に乗り換えることで, 自然数だけでなく負の数や分数にも拡張されていくところですね。新しく学ぶ数学がさっぱりわからない（泣）, というのは, だいたいがこれです。定義の拡張に気づいていないのです。
高校ではあまり詳しく学ばなかったことで当たり前だと思っていたことが意外と深いことで、一つ一つ理解すべきことだということがわかりました。
… 高校で学んだことの「伏線回収」がこれからたくさん出てきますよ。
高校まではとにかくたくさん問題を解くことで慣れていたがそれだと「わかったふり」でとどまってしまうことに気づけた。
… 慣れも大事ですけどね。「慣れる」の次に「わかる」を目指すのが大事。
高校の先生が何回も「定義は重要」とか、「定義の拡張」とかをよく話していた。当時はよくわかってない部分もあったが、今日の授業を通じてそれが少しわかった。
これから学ぶ大学数学は高校の数学みたいにたくさん問題を解いて点数を取れるようにするのと違って、定義を大切にして1つ1つを説明できるくらい理解することが大切なのだと改めて痛感した。
… 「たくさん問題を解いて点数を取れるようにする勉強」は, 高校生の発達段階には適した学習法だと思います。実際, 頭が柔らかい時期は, いろんなことを理屈抜きに詰め込むことができます。同様に, 大学生には大学生の成熟レベルに合った「大人の勉強法」があります。それが定義重視・納得重視の勉強法です。
どうしてこうなるのか(例えば0の階乗は1など)を考えるときに、どこまでを前提として定義すればよいかわからない。
… 自分の知っている数学を全部いちど分解して, 定義をもとに組み立て直すとわかるようになります。
自分は有効数字の考え方が苦手で、何桁目までを有効数字とするのかに毎回悩んでいた。しかし、今回の授業を受けて有効数字は厳密な考え方ではないと知った。
... 世の中, 単位についてはグサグサなのに, なんで有効数字はこんなにこだわるのだろう? と私はいつも不思議に思っています。逆にすべきですよね。
定義を曖昧のまま学習を進めるとその後の理解が難しくなることがあり、自分も今までそうだったと思った。今後は理解が難しい場合には原点にかえって定義を確認してみようと思った。
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