奈佐原顕郎の読者フィードバック

（勉強の仕方全般に関する話題です。）  どの分野もそうだと思いますが, 特に数学・物理学関係の分野の学びでは, 論理的な読解力が大変重要です。それが無いと書かれたこと・語られていることを正確に把握できず, 誤解や拡大解釈によって学びの効率が著しく落ちます。まるで「穴の空いたバケツで水を汲む」ようなもので, 膨大な時間をかけて一生懸命勉強してもなかなか勉強できるようにならないのです。逆に言えば, 論理的な読解力を身につければ, 学びの効率は劇的に向上し, 人生が変わるかもしれません!!! 「論理的な読解力」の最初のレッスンとして, 発言を素直に受け取ること, とりわけ, 「著者が言ってないこと（話題にしていないこと）を勝手に読み取らない」 という教訓を身につけましょう。例えば「サッカーって面白いよね」という人に対して「この人には野球はつまらないんだ」というような解釈を勝手にしない, ということです。当然ながらサッカーが面白い, 野球も面白い, という人はたくさんいます。「サッカーは面白い」という発言ではサッカーだけが話題になっているのであり, 野球はとりあえず話題になっていないのです。 当たり前のようですが, 実はこれができない人は多いのです。 たとえば「2つの整数m, nのうち片方は偶数です」と言われたとき, 「じゃあもう片方は奇数なんだな」と考えてしまう人がいます。これは間違いです。もう片方は話題になっていないから何でもよいのです（ただし話の前提条件になっていた「整数」は満たす必要があります）。だからもう片方は奇数でも偶数でもよいのです。 「AならBです」と言われたときを考えましょう（A, Bは何らかの条件, たとえばAは「xは偶数」でBは「xは整数」）。これを「じゃあAでないならBでないんだな」と受け取ってしまう人がいます。これも上の教訓に反します。「AならBです」という発言は, 「Aでない場合」には言及していません。話題になっていないのです。だから「Aでない場合」については考えなくてよいのです（考えてもよいのですが, それはあくまであなたの考えであって, 著者の考えではありません）。だから「AでないならBでない」と解釈してはダメですし, 「AでないのにBなこともありますよ！」みたいな「反論」も成立しないのです。 「AならBです」と言われて, 「そうか, B

（「大学1年生のための数学入門」第5章「微分」の話題です。）  微分可能な関数は直感的なイメージでは滑らかなグラフであり, その導関数はその滑らかさをグラフにしたものだから, どこかでいきなり上がったり下がったりしそうな感じはありません。だから, 微分可能な関数の導関数はどこでも連続であるような気がしますね。 でも, 実際は, 導関数が不連続になるような微分可能な関数もあるのです。その実例が杉浦光夫「解析入門I」(P89 例18)にあります。こういう関数です:  \begin{eqnarray}f(x)=\begin{cases} x^2 \sin \frac{1}{x} \quad\quad (x\neq 0)\\ 0 \quad\quad\quad\quad (x=0) \end{cases}\end{eqnarray} ちょっと変わっているのは, $x\neq0$と$x=0$で場合分けして定義されていることです。これは, $1/x$が式の中に入っているからです。「0での割り算」はNGですので, $1/x$が入った式は$x\neq0$でしか意味を持たないのです。だから$x=0$では別途定義しているわけです。 グラフはこんなかんじです↓。上下に振動するグラフですが, 原点に近づくほど小刻みになっていくかんじです。2つの放物線$y=x^2$と$y=-x^2$に挟まれた領域で振動しています。     ではこれの導関数を求めてみましょう。まず$x\neq0$では普通に「積の微分」や「合成関数の微分」の公式を使って,  \begin{eqnarray}f'(x)=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}\end{eqnarray} となります。一方, $x=0$での微分係数（導関数の$x=0$での値）は,  \begin{eqnarray}f'(0)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}h\sin\frac{1}{h}=0\end{eqnarray} となります。このように, 全ての$x$で微分係数が定まるわけです。従って, この関数$f(x)$は全ての$x$で微分可能です。 ところが!! 式(2)では, $x$を0に近づけると, 右辺第二